$Definición$: Dada una función continua $f(x)$, se dice que $F(x)$ es una primitiva de la función $f(x)$ si, y solo si, $F'(x) = f(x)$.

$Ejemplo$

Sea la función $f(x)=3x^2+2x-1$. Podemos ver que si $F(x)= x^3+x^2-x+5$ entonces se cumple que $F’(x)=f(x)$ y por tanto $F(x)$ sería una primitiva de $f(x)$.

Podemos observar que si tomamos las funciones $F(x)=x^3+x^2-x-20$ ó $F(x)=x^3+x^2-x+\sqrt{3}$ también son primitivas de $f(x)$. En general, se cumple que si $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$ entonces $f(x)=F’(x)=(F(x)+C)’$ siendo $C$ una constante. $C \in \mathbb{R}$

$Definición$: El conjunto de todas las posibles primitivas de una función $f(x)$ se denomina integral indefinida de $f(x)$, y se escribe como: $\int f(x) \, dx$

$\int f(x) \, dx = F(x) + C$

$Notación$

• $C$ es la constante de integración. $C \in \mathbb{R}$
• El proceso contrario a la derivación se denomina integración.
• La integral se simboliza por: $\int ... \, dx$
• $dx$ se lee como diferencial de x e indica la variable respecto de la cuál se integra.

Ejercicio 1

a) Hallar la primitiva de la función $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ cuyo valor en $x=4$ es $4$.

b) Determina una función $f(x)$ sabiendo que $f’’(x)=2$, que $f’(-1)=-1$ y que $f(-1)=3$