Fórmulas de Integración para Funciones Compuestas.

A continuación vamos a ir viendo las distintas fórmulas de integración compuestas:

Cabe aclarar que en todas ellas, $f$ denota a una función y $f’$ denota a la función derivada.

Integral tipo Potencial

$\int f'\cdot f^n \, dx = \frac{f^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \ne -1)$

Esta fórmula se utiliza en integrales en las que, como vemos, el integrando es un producto de dos factores uno de los cuales es una función potencial, $[f(x)]^n$, y el otro es la derivada de la base de dicha potencia, $f'(x)$, u otra función que difiera de ella en una constante.

Ejemplos

  1. $\int \left( 3x+1\right)^4 \, dx$

  2. $\int x \left( x^2 + 5 \right)^3 \, dx$

  3. $\int 3x \left( x^2 + 2 \right)^7 \, dx$

  4. $\int \frac{x}{(3x^2+1)^2} \, dx$

(Solución próximamente)

  1. $\int \sqrt{3x+2} dx$

(Solución próximamente)

  1. $\int x \sqrt{x^2-1} dx$

(Solución próximamente)

  1. $\int \frac{3}{\sqrt{5x + 2}} \, dx$

(Solución próximamente)

  1. $\int \frac{2x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

(Solución próximamente)

  1. $\int \frac{3}{\sqrt[3]{5 - x}} \, dx$

(Solución próximamente)

  1. $\int \sin^5(x) \cdot \cos(x) \, dx$

(Solución próximamente)

  1. $\int \cos(5x)\cdot \sin(5x) \, dx$

(Solución próximamente)

  1. $\int \frac {e^{2x}}{\sqrt{1+e^{2x}}} \, dx$

(Solución próximamente)

  1. $\int \frac {\cos x}{\sin ^2x} \, dx$

  2. $\int \frac {\sin x}{\cos^5(x)} \, dx$

(Solución próximamente)

  1. $\int \frac {\arccos (x) - x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

(Solución próximamente)

Integral tipo Logaritmo

$\int \frac{f'}{f} \, dx = \ln |f| + C$

Esta fórmula se utiliza para integrales cuyo integrando es una fracción en la que el numerador es exactamente la derivada del denominador o una función que difiere de está en una constante, en cuyo caso podremos aplicar propiedades de las integrales.

En muchas ocasiones la derivada del denominador aparentemente no guarda relación con el numerador, pero, si se reorganiza la fracción, la relación aparece.

Ejemplos

  1. $\int \frac{x}{x^2+1} \, dx$

(Solución próximamente)

  1. $\int \frac{1}{4-2x} \, dx$

(Solución próximamente)

  1. $\int \frac {5x}{3+3x^2} \, dx$

  2. $\int \frac{6x^2-2x+4}{4x^3-2x^2+8x-5} \, dx$

(Solución próximamente)

  1. $\int \frac{x^2-1}{x^3-3x} \, dx$

(Solución próximamente)

  1. $\int \frac{1}{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})} \, dx$

(Solución próximamente)

  1. $\int \tan x \, dx$

(Solución próximamente)

  1. $\int \cot(3x) \, dx$

(Solución próximamente)

  1. $\int \frac{1}{x\cdot \ln(x)} \, dx$

(Solución próximamente)

  1. $\int \frac{\cos{\sqrt x}}{\sqrt {x} \cdot \sin {\sqrt x}} \, dx$

(Solución próximamente)

Integral tipo Exponencial

$\int f' \cdot e^f \, dx = e^f + C$