4. Integración por Cambio de Variable.

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Cómo resolver integrales por cambio de variable

La integración por cambio de variable es una técnica que nos permite resolver integrales complicadas haciendo una sustitución que transforma la integral en una más fácil. Es como aplicar la regla de la cadena al revés, deshaciendo una función compuesta para integrarla con mayor comodidad.

La idea es elegir una expresión dentro de la integral, llamarla $t$ (por ejemplo $t=g(x)$), y después derivarla para obtener $dt=g'(x) dx$. Luego se reemplazan todas las $x$ (incluyendo $dx$) en términos de $t$, se integra normalmente, y al final se vuelve a la variable original.

Para usarla, seguimos estos pasos:

**Elige un cambio de variable (**algo que simplifique la integral, a veces, este cambio nos lo darán).
Calcula $dt$ a partir del cambio.
Sustituye toda la integral en términos de $t$.
Resuelve la integral en función de $t$.
Sustituye de nuevo en términos de $x$.

Ejercicios Resueltos

$\int x (x+2)^{10}\, dx$ $t=x+2$
$\int \frac {1}{e^x+e^{-x}}\, dx$ $t=e^x$
$\int \frac {1}{\sqrt {x}(1-\sqrt{x})} \, dx$ $t=1-\sqrt {x}$
$\int \frac{1}{x\cdot \ln(x)} \, dx$
$\int \frac{5x}{\sqrt {1-2x^2}} \, dx$

(Solución próximamente)

$\int \frac {1}{1+3x^2}\, dx$

(Solución próximamente)

$\int \frac {3x}{\sqrt{1-9x^4}}\, dx$

(Solución próximamente)

$\int \frac {1}{\sqrt{x}\cos^2(1+\sqrt{x})}\, dx$

(Solución próximamente)

$\int \frac{1}{\cos^2(x) \cdot \tg (x)} \, dx$

(Solución próximamente)

$\int \frac{\ln (x^2)}{x} \, dx$

(Solución próximamente)

$\int \frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}} \, dx$

(Solución próximamente)

$\int x^3(x^2+1)^6 \, dx$

(Solución próximamente)

$\int \frac{x}{1+\sqrt{x}} \, dx$

(Solución próximamente)

$\int x\sqrt{1+x} \, dx$

(Solución próximamente)

$\int \frac {2^x-3\cdot 4^x}{2+4^x} \, dx$

(Solución próximamente)

$\int \frac{ \ln x}{x \ln 2x} \, dx$

(Solución próximamente)

$\int \frac{2e^x}{e^x + 2e^{-x}} \, dx$

(Solución próximamente)

$\int \frac{1}{x + \sqrt{x}} \, dx$

(Solución próximamente)

$\int \frac {\ln(2x^2)}{x} \, dx$

(Solución próximamente)

$\int \frac{5x+2}{1+2x^2} \, dx$

(Solución próximamente)

$\int \sin^3x \, dx$

(Solución próximamente)

$\int \frac{2x^3}{1+x^8} \, dx$

(Solución próximamente)

$\int \frac{2^x}{1+4^x} \, dx$

(Solución próximamente)

$\int \frac{1}{1+\sqrt{x}} \, dx$

(Solución próximamente)

$\int \frac {1}{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}} \, dx$

(Solución próximamente)

$\int \frac{1+\sqrt{x}}{1-{\sqrt{x}}} \, dx$

(Solución próximamente)

$\int \frac {e^{2x}}{\sqrt {1+e^{x}}} \, dx$

(Solución próximamente)

$\int \frac{x}{\sqrt{x-1}} \, dx$

(Solución próximamente)

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x} + \sqrt [3]{1-x}} \, dx$

(Solución próximamente)

$\int \frac {3^x+27^x}{1+9^x} \, dx$

(Solución próximamente)

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