Anteriormente ya hemos integrado algunas funciones racionales como por ejemplo:
$\int \frac{f'}{f} \, dx = \ln |f| + C$
$\int \frac{f'}{1 + f^2} \, dx = \arctan f + C$
las cuales serán importantes y deberán de estar claras para resolver otras integrales más complejas.
Veamos un procedimiento para resolver integrales de funciones racionales, es decir, del tipo $\int f(x) \,dx= \int \frac {P(x)}{Q(x)} \,dx$ donde $P(x)$ y $Q(x)$ son 2 polinomios.
Lo primero que deberemos hacer ante una integral racional es estudiar el grado de ambos polinomios. Podemos encontrar dos casos distintos:
Vamos a centrarnos primero en los casos en que el grado del denominador es mayor que el grado del numerador y al final veremos que ocurre cuando el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador.
Este tipo de integrales son sencillas de resolver, ya que realmente se tratan de integrales casi inmediatas que se resuelven usando la fórmula de logaritmos neperianos.
Son del tipo:
$\int \frac {k}{ax+b} \ dx = \frac{k}{a} \ln ({ax+b}) + c \quad (k \in \R)$
Estos son algunos ejemplos:
$\int \frac{3}{5x+3} \ dx$
$\int \frac{8}{7x+2} \ dx$