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Algunas identidades Trigonométricas fundamentales

Las integrales trigonométricas son aquellas que involucran funciones como $\sin⁡x$, $\cos⁡ x$, $\tan⁡x$, etc., ya sea elevadas a potencias, combinadas entre sí o para realizar algún tipo de cambio de variable.

Antes de comenzar a resolver integrales de este tipo conviene recordar algunas identidades trigonométricas fundamentales:

$\sin^2 x + \cos^2x =1$ (Identidad fundamental)

$\sin^2x =\frac{1-\cos (2x)}{2}$

$\cos^2x = \frac{1+\cos (2x)}{2}$

$\sin (2x) = 2 \sin x \cos x$

$\cos (2x) = \cos^2 (x) - \sin^2 (x)$

$\sin x \cos y = \frac {1}{2}[\sin (x+y) + \sin (x-y)]$

$\cos x \cos y = \frac {1}{2}[\cos (x+y) + \cos (x-y)]$

$\sin x \sin y = \frac {-1}{2}[\cos (x+y) - \cos (x-y)]$

Ejercicios

1. $\int \sin ^2x \, dx$

2. $\int \sin x \cdot \sin (2x) \cdot \sin (3x) \, dx$

(Solución próximamente)

Integrales del tipo $\int \sin^m x \cdot cos^nx \, dx$

• Cuando uno de los exponentes es impar:

  Se reserva una función (por ejemplo, $\sin⁡x$) y se transforma el resto usando

  $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ o viceversa.

• Cuando ambos exponentes son pares:

  Se usan las identidades de reducción:

  $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$

  $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$

Ejercicios

3. $\int \sin ^3x \cos^2x \, dx$

4. $\int \sin ^3x \, dx$

(Solución próximamente)

5. $\int \cos^3x \, dx$

(Solución próximamente)

6. $\int \sin ^2x \cos^3x \, dx$

(Solución próximamente)

7. $\int \cos^2x \, dx$

(Solución próximamente)

8. $\int \sin ^2x \cos^2x \, dx$

(Solución próximamente)